Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57206 / 42075
↖ ↑ ↗
← N 54.015838°
W 22.879028°		 ← 179.42 m → N 54.015838°
W 22.876282°		 →
↑
179.47 m
↓
↑
179.47 m
↓
N 54.014224°
W 22.879028°		 ← 179.43 m →
32 201 m²		 N 54.014224°
W 22.876282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436450958251953 y=0.321010589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436450958251953 × 217)
    floor (0.436450958251953 × 131072)
    floor (57206.5)     		tx = 57206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321010589599609 × 217)
    floor (0.321010589599609 × 131072)
    floor (42075.5)     		ty = 42075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57206 / 42075 ti = "17/57206/42075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57206/42075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57206 ÷ 217
    57206 ÷ 131072     		x = 0.436447143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42075 ÷ 217
    42075 ÷ 131072     		y = 0.321006774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436447143554688 × 2 - 1) × π
    -0.127105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39931437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321006774902344 × 2 - 1) × π
    0.357986450195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.12464760198614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39931437} λ = -0.39931437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12464760198614))-π/2
    2×atan(3.07913157785312)-π/2
    2×1.2567752781948-π/2
    2.51355055638961-1.57079632675     		φ = 0.94275423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39931437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.879028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94275423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.015838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57206 KachelY 42075 -0.39931437 0.94275423 -22.879028 54.015838
    Oben rechts KachelX + 1 57207 KachelY 42075 -0.39926644 0.94275423 -22.876282 54.015838
    Unten links KachelX 57206 KachelY + 1 42076 -0.39931437 0.94272606 -22.879028 54.014224
    Unten rechts KachelX + 1 57207 KachelY + 1 42076 -0.39926644 0.94272606 -22.876282 54.014224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94275423-0.94272606) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dl = 179.471069999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94275423-0.94272606) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dr = 179.471069999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39931437--0.39926644) × cos(0.94275423) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587561590095728 × 6371000     		do = 179.418999901561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39931437--0.39926644) × cos(0.94272606) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587584384447624 × 6371000     		du = 179.425960431129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94275423)-sin(0.94272606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587561590095728-0.587584384447624)×R²
    abs(-0.39926644--0.39931437)×2.27943518964491e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27943518964491e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27943518964491e-05×40589641000000     		ar = 32201.1444996498m²