Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57206 / 17772
↖ ↑ ↗
← N 78.431215°
W 22.879028°		 ← 61.24 m → N 78.431215°
W 22.876282°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.430664°
W 22.879028°		 ← 61.24 m →
3 749 m²		 N 78.430664°
W 22.876282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436450958251953 y=0.135593414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436450958251953 × 217)
    floor (0.436450958251953 × 131072)
    floor (57206.5)     		tx = 57206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135593414306641 × 217)
    floor (0.135593414306641 × 131072)
    floor (17772.5)     		ty = 17772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57206 / 17772 ti = "17/57206/17772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57206/17772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57206 ÷ 217
    57206 ÷ 131072     		x = 0.436447143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17772 ÷ 217
    17772 ÷ 131072     		y = 0.135589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436447143554688 × 2 - 1) × π
    -0.127105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39931437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135589599609375 × 2 - 1) × π
    0.72882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28965807345236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39931437} λ = -0.39931437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28965807345236))-π/2
    2×atan(9.871561755016)-π/2
    2×1.46983962959107-π/2
    2.93967925918215-1.57079632675     		φ = 1.36888293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39931437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.879028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36888293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.431215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57206 KachelY 17772 -0.39931437 1.36888293 -22.879028 78.431215
    Oben rechts KachelX + 1 57207 KachelY 17772 -0.39926644 1.36888293 -22.876282 78.431215
    Unten links KachelX 57206 KachelY + 1 17773 -0.39931437 1.36887332 -22.879028 78.430664
    Unten rechts KachelX + 1 57207 KachelY + 1 17773 -0.39926644 1.36887332 -22.876282 78.430664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36888293-1.36887332) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36888293-1.36887332) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39931437--0.39926644) × cos(1.36888293) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200544222226872 × 6371000     		do = 61.2385908039352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39931437--0.39926644) × cos(1.36887332) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200553636987105 × 6371000     		du = 61.241465714232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36888293)-sin(1.36887332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200544222226872-0.200553636987105)×R²
    abs(-0.39926644--0.39931437)×9.41476023327836e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.41476023327836e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.41476023327836e-06×40589641000000     		ar = 3749.43971458701m²