Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57205 / 84861
↖ ↑ ↗
← S 46.794419°
W 22.881775°		 ← 209.10 m → S 46.794419°
W 22.879028°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 46.796299°
W 22.881775°		 ← 209.09 m →
43 721 m²		 S 46.796299°
W 22.879028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436443328857422 y=0.647441864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436443328857422 × 217)
    floor (0.436443328857422 × 131072)
    floor (57205.5)     		tx = 57205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647441864013672 × 217)
    floor (0.647441864013672 × 131072)
    floor (84861.5)     		ty = 84861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57205 / 84861 ti = "17/57205/84861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57205/84861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57205 ÷ 217
    57205 ÷ 131072     		x = 0.436439514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84861 ÷ 217
    84861 ÷ 131072     		y = 0.647438049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436439514160156 × 2 - 1) × π
    -0.127120971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39936231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647438049316406 × 2 - 1) × π
    -0.294876098632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.926380585157585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39936231} λ = -0.39936231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926380585157585))-π/2
    2×atan(0.395984351406946)-π/2
    2×0.377039824793323-π/2
    0.754079649586647-1.57079632675     		φ = -0.81671668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39936231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.881775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81671668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.794419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57205 KachelY 84861 -0.39936231 -0.81671668 -22.881775 -46.794419
    Oben rechts KachelX + 1 57206 KachelY 84861 -0.39931437 -0.81671668 -22.879028 -46.794419
    Unten links KachelX 57205 KachelY + 1 84862 -0.39936231 -0.81674950 -22.881775 -46.796299
    Unten rechts KachelX + 1 57206 KachelY + 1 84862 -0.39931437 -0.81674950 -22.879028 -46.796299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81671668--0.81674950) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81671668--0.81674950) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39936231--0.39931437) × cos(-0.81671668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684618111466256 × 6371000     		do = 209.099993312089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39936231--0.39931437) × cos(-0.81674950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684594188535795 × 6371000     		du = 209.09268663335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81671668)-sin(-0.81674950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684618111466256-0.684594188535795)×R²
    abs(-0.39931437--0.39936231)×2.39229304601629e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39229304601629e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39229304601629e-05×40589641000000     		ar = 43721.2543080371m²