Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57205 / 42079
↖ ↑ ↗
← N 54.009383°
W 22.881775°		 ← 179.48 m → N 54.009383°
W 22.879028°		 →
↑
179.47 m
↓
↑
179.47 m
↓
N 54.007769°
W 22.881775°		 ← 179.49 m →
32 213 m²		 N 54.007769°
W 22.879028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436443328857422 y=0.321041107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436443328857422 × 217)
    floor (0.436443328857422 × 131072)
    floor (57205.5)     		tx = 57205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321041107177734 × 217)
    floor (0.321041107177734 × 131072)
    floor (42079.5)     		ty = 42079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57205 / 42079 ti = "17/57205/42079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57205/42079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57205 ÷ 217
    57205 ÷ 131072     		x = 0.436439514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42079 ÷ 217
    42079 ÷ 131072     		y = 0.321037292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436439514160156 × 2 - 1) × π
    -0.127120971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39936231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321037292480469 × 2 - 1) × π
    0.357925415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.12445585438766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39936231} λ = -0.39936231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12445585438766))-π/2
    2×atan(3.07854121836948)-π/2
    2×1.25671894206257-π/2
    2.51343788412514-1.57079632675     		φ = 0.94264156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39936231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.881775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94264156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.009383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57205 KachelY 42079 -0.39936231 0.94264156 -22.881775 54.009383
    Oben rechts KachelX + 1 57206 KachelY 42079 -0.39931437 0.94264156 -22.879028 54.009383
    Unten links KachelX 57205 KachelY + 1 42080 -0.39936231 0.94261339 -22.881775 54.007769
    Unten rechts KachelX + 1 57206 KachelY + 1 42080 -0.39931437 0.94261339 -22.879028 54.007769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94264156-0.94261339) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dl = 179.471069999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94264156-0.94261339) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dr = 179.471069999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39936231--0.39931437) × cos(0.94264156) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587652756614447 × 6371000     		do = 179.484278052098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39936231--0.39931437) × cos(0.94261339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587675549101293 × 6371000     		du = 179.491239464259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94264156)-sin(0.94261339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587652756614447-0.587675549101293)×R²
    abs(-0.39931437--0.39936231)×2.27924868456686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27924868456686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27924868456686e-05×40589641000000     		ar = 32212.8601184345m²