Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57204 / 80962
↖ ↑ ↗
← S 38.963680°
W 22.884522°		 ← 237.48 m → S 38.963680°
W 22.881775°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 38.965816°
W 22.884522°		 ← 237.48 m →
56 389 m²		 S 38.965816°
W 22.881775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436435699462891 y=0.617694854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436435699462891 × 217)
    floor (0.436435699462891 × 131072)
    floor (57204.5)     		tx = 57204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617694854736328 × 217)
    floor (0.617694854736328 × 131072)
    floor (80962.5)     		ty = 80962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57204 / 80962 ti = "17/57204/80962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57204/80962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57204 ÷ 217
    57204 ÷ 131072     		x = 0.436431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80962 ÷ 217
    80962 ÷ 131072     		y = 0.617691040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.12713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39941025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617691040039062 × 2 - 1) × π
    -0.235382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.739474613538986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39941025} λ = -0.39941025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739474613538986))-π/2
    2×atan(0.477364650573244)-π/2
    2×0.44537591016894-π/2
    0.890751820337879-1.57079632675     		φ = -0.68004451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39941025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.884522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68004451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.963680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57204 KachelY 80962 -0.39941025 -0.68004451 -22.884522 -38.963680
    Oben rechts KachelX + 1 57205 KachelY 80962 -0.39936231 -0.68004451 -22.881775 -38.963680
    Unten links KachelX 57204 KachelY + 1 80963 -0.39941025 -0.68008178 -22.884522 -38.965816
    Unten rechts KachelX + 1 57205 KachelY + 1 80963 -0.39936231 -0.68008178 -22.881775 -38.965816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68004451--0.68008178) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68004451--0.68008178) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39941025--0.39936231) × cos(-0.68004451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777544730403198 × 6371000     		do = 237.482174666616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39941025--0.39936231) × cos(-0.68008178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.77752129345729 × 6371000     		du = 237.475016420069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68004451)-sin(-0.68008178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777544730403198-0.77752129345729)×R²
    abs(-0.39936231--0.39941025)×2.34369459076733e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34369459076733e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34369459076733e-05×40589641000000     		ar = 56388.6204538848m²