Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57204 / 42139
↖ ↑ ↗
← N 53.912428°
W 22.884522°		 ← 179.90 m → N 53.912428°
W 22.881775°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
N 53.910810°
W 22.884522°		 ← 179.91 m →
32 357 m²		 N 53.910810°
W 22.881775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436435699462891 y=0.321498870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436435699462891 × 217)
    floor (0.436435699462891 × 131072)
    floor (57204.5)     		tx = 57204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321498870849609 × 217)
    floor (0.321498870849609 × 131072)
    floor (42139.5)     		ty = 42139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57204 / 42139 ti = "17/57204/42139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57204/42139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57204 ÷ 217
    57204 ÷ 131072     		x = 0.436431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42139 ÷ 217
    42139 ÷ 131072     		y = 0.321495056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.12713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39941025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321495056152344 × 2 - 1) × π
    0.357009887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.12157964041045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39941025} λ = -0.39941025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12157964041045))-π/2
    2×atan(3.0696993966688)-π/2
    2×1.25587285080373-π/2
    2.51174570160746-1.57079632675     		φ = 0.94094937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39941025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.884522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94094937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.912428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57204 KachelY 42139 -0.39941025 0.94094937 -22.884522 53.912428
    Oben rechts KachelX + 1 57205 KachelY 42139 -0.39936231 0.94094937 -22.881775 53.912428
    Unten links KachelX 57204 KachelY + 1 42140 -0.39941025 0.94092114 -22.884522 53.910810
    Unten rechts KachelX + 1 57205 KachelY + 1 42140 -0.39936231 0.94092114 -22.881775 53.910810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94094937-0.94092114) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dl = 179.853329999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94094937-0.94092114) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dr = 179.853329999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39941025--0.39936231) × cos(0.94094937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589021087923529 × 6371000     		do = 179.902201654739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39941025--0.39936231) × cos(0.94092114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58904390085046 × 6371000     		du = 179.909169309829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94094937)-sin(0.94092114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589021087923529-0.58904390085046)×R²
    abs(-0.39936231--0.39941025)×2.28129269310706e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28129269310706e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28129269310706e-05×40589641000000     		ar = 32356.6366220543m²