Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57202 / 80947
↖ ↑ ↗
← S 38.931639°
W 22.890015°		 ← 237.59 m → S 38.931639°
W 22.887268°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 38.933775°
W 22.890015°		 ← 237.58 m →
56 444 m²		 S 38.933775°
W 22.887268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436420440673828 y=0.617580413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436420440673828 × 217)
    floor (0.436420440673828 × 131072)
    floor (57202.5)     		tx = 57202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617580413818359 × 217)
    floor (0.617580413818359 × 131072)
    floor (80947.5)     		ty = 80947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57202 / 80947 ti = "17/57202/80947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57202/80947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57202 ÷ 217
    57202 ÷ 131072     		x = 0.436416625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80947 ÷ 217
    80947 ÷ 131072     		y = 0.617576599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436416625976562 × 2 - 1) × π
    -0.127166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39950612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617576599121094 × 2 - 1) × π
    -0.235153198242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.738755560044685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39950612} λ = -0.39950612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738755560044685))-π/2
    2×atan(0.477708024730693)-π/2
    2×0.44565552149272-π/2
    0.891311042985441-1.57079632675     		φ = -0.67948528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39950612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.890015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67948528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.931639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57202 KachelY 80947 -0.39950612 -0.67948528 -22.890015 -38.931639
    Oben rechts KachelX + 1 57203 KachelY 80947 -0.39945818 -0.67948528 -22.887268 -38.931639
    Unten links KachelX 57202 KachelY + 1 80948 -0.39950612 -0.67952257 -22.890015 -38.933775
    Unten rechts KachelX + 1 57203 KachelY + 1 80948 -0.39945818 -0.67952257 -22.887268 -38.933775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67948528--0.67952257) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dl = 237.574590000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67948528--0.67952257) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dr = 237.574590000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39950612--0.39945818) × cos(-0.67948528) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777896268078195 × 6371000     		do = 237.58954332114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39950612--0.39945818) × cos(-0.67952257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777872834773251 × 6371000     		du = 237.582386186637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67948528)-sin(-0.67952257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777896268078195-0.777872834773251)×R²
    abs(-0.39945818--0.39950612)×2.34333049444757e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34333049444757e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34333049444757e-05×40589641000000     		ar = 56444.3881727557m²