Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57202 / 42137
↖ ↑ ↗
← N 53.915663°
W 22.890015°		 ← 179.89 m → N 53.915663°
W 22.887268°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
N 53.914046°
W 22.890015°		 ← 179.90 m →
32 354 m²		 N 53.914046°
W 22.887268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436420440673828 y=0.321483612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436420440673828 × 217)
    floor (0.436420440673828 × 131072)
    floor (57202.5)     		tx = 57202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321483612060547 × 217)
    floor (0.321483612060547 × 131072)
    floor (42137.5)     		ty = 42137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57202 / 42137 ti = "17/57202/42137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57202/42137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57202 ÷ 217
    57202 ÷ 131072     		x = 0.436416625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42137 ÷ 217
    42137 ÷ 131072     		y = 0.321479797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436416625976562 × 2 - 1) × π
    -0.127166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39950612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321479797363281 × 2 - 1) × π
    0.357040405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.12167551420969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39950612} λ = -0.39950612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12167551420969))-π/2
    2×atan(3.06999371452094)-π/2
    2×1.2559010855545-π/2
    2.51180217110901-1.57079632675     		φ = 0.94100584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39950612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.890015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94100584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.915663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57202 KachelY 42137 -0.39950612 0.94100584 -22.890015 53.915663
    Oben rechts KachelX + 1 57203 KachelY 42137 -0.39945818 0.94100584 -22.887268 53.915663
    Unten links KachelX 57202 KachelY + 1 42138 -0.39950612 0.94097761 -22.890015 53.914046
    Unten rechts KachelX + 1 57203 KachelY + 1 42138 -0.39945818 0.94097761 -22.887268 53.914046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94100584-0.94097761) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dl = 179.853329999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94100584-0.94097761) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dr = 179.853329999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39950612--0.39945818) × cos(0.94100584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588975452579945 × 6371000     		do = 179.888263446155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39950612--0.39945818) × cos(0.94097761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588998266445844 × 6371000     		du = 179.895231388029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94100584)-sin(0.94097761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588975452579945-0.588998266445844)×R²
    abs(-0.39945818--0.39950612)×2.28138658996402e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28138658996402e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28138658996402e-05×40589641000000     		ar = 32354.1298146297m²