Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57201 / 80981
↖ ↑ ↗
← S 39.004245°
W 22.892761°		 ← 237.35 m → S 39.004245°
W 22.890015°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
S 39.006379°
W 22.892761°		 ← 237.34 m →
56 326 m²		 S 39.006379°
W 22.890015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436412811279297 y=0.617839813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436412811279297 × 217)
    floor (0.436412811279297 × 131072)
    floor (57201.5)     		tx = 57201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617839813232422 × 217)
    floor (0.617839813232422 × 131072)
    floor (80981.5)     		ty = 80981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57201 / 80981 ti = "17/57201/80981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57201/80981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57201 ÷ 217
    57201 ÷ 131072     		x = 0.436408996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80981 ÷ 217
    80981 ÷ 131072     		y = 0.617835998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436408996582031 × 2 - 1) × π
    -0.127182006835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39955406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617835998535156 × 2 - 1) × π
    -0.235671997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.740385414631767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39955406} λ = -0.39955406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740385414631767))-π/2
    2×atan(0.47693006426873)-π/2
    2×0.445021917284511-π/2
    0.890043834569022-1.57079632675     		φ = -0.68075249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39955406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.892761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68075249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.004245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57201 KachelY 80981 -0.39955406 -0.68075249 -22.892761 -39.004245
    Oben rechts KachelX + 1 57202 KachelY 80981 -0.39950612 -0.68075249 -22.890015 -39.004245
    Unten links KachelX 57201 KachelY + 1 80982 -0.39955406 -0.68078974 -22.892761 -39.006379
    Unten rechts KachelX + 1 57202 KachelY + 1 80982 -0.39950612 -0.68078974 -22.890015 -39.006379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68075249--0.68078974) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68075249--0.68078974) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39955406--0.39950612) × cos(-0.68075249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777099338186094 × 6371000     		do = 237.346140418842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39955406--0.39950612) × cos(-0.68078974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777075893317891 × 6371000     		du = 237.338979752622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68075249)-sin(-0.68078974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777099338186094-0.777075893317891)×R²
    abs(-0.39950612--0.39955406)×2.34448682023825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34448682023825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34448682023825e-05×40589641000000     		ar = 56326.077030225m²