Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57200 / 80944
↖ ↑ ↗
← S 38.925229°
W 22.895508°		 ← 237.61 m → S 38.925229°
W 22.892761°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 38.927366°
W 22.895508°		 ← 237.60 m →
56 449 m²		 S 38.927366°
W 22.892761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436405181884766 y=0.617557525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436405181884766 × 217)
    floor (0.436405181884766 × 131072)
    floor (57200.5)     		tx = 57200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617557525634766 × 217)
    floor (0.617557525634766 × 131072)
    floor (80944.5)     		ty = 80944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57200 / 80944 ti = "17/57200/80944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57200/80944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57200 ÷ 217
    57200 ÷ 131072     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80944 ÷ 217
    80944 ÷ 131072     		y = 0.6175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.738611749345825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738611749345825))-π/2
    2×atan(0.477776729195681)-π/2
    2×0.445711458922891-π/2
    0.891422917845783-1.57079632675     		φ = -0.67937341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67937341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.925229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57200 KachelY 80944 -0.39960200 -0.67937341 -22.895508 -38.925229
    Oben rechts KachelX + 1 57201 KachelY 80944 -0.39955406 -0.67937341 -22.892761 -38.925229
    Unten links KachelX 57200 KachelY + 1 80945 -0.39960200 -0.67941070 -22.895508 -38.927366
    Unten rechts KachelX + 1 57201 KachelY + 1 80945 -0.39955406 -0.67941070 -22.892761 -38.927366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67937341--0.67941070) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dl = 237.574590000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67937341--0.67941070) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dr = 237.574590000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39955406) × cos(-0.67937341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777966561502704 × 6371000     		do = 237.611012742338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39955406) × cos(-0.67941070) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777943131442954 × 6371000     		du = 237.603856599001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67937341)-sin(-0.67941070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777966561502704-0.777943131442954)×R²
    abs(-0.39955406--0.39960200)×2.34300597495851e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34300597495851e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34300597495851e-05×40589641000000     		ar = 56449.4888796089m²