Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 572 / 605
↖ ↑ ↗
← S 31.052934°
E 21.093750°		 ← 33.490 km → S 31.052934°
E 21.445312°		 →
↑
33.437 km
↓
↑
33.437 km
↓
S 31.353637°
E 21.093750°		 ← 33.383 km →
1 118.01 km²		 S 31.353637°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55908203125 y=0.59130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55908203125 × 210)
    floor (0.55908203125 × 1024)
    floor (572.5)     		tx = 572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59130859375 × 210)
    floor (0.59130859375 × 1024)
    floor (605.5)     		ty = 605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 572 / 605 ti = "10/572/605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/572/605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 572 ÷ 210
    572 ÷ 1024     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 605 ÷ 210
    605 ÷ 1024     		y = 0.5908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570640853077148))-π/2
    2×atan(0.565163136085713)-π/2
    2×0.514410193176934-π/2
    1.02882038635387-1.57079632675     		φ = -0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 572 KachelY 605 0.36815539 -0.54197594 21.093750 -31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 573 KachelY 605 0.37429131 -0.54197594 21.445312 -31.052934
    Unten links KachelX 572 KachelY + 1 606 0.36815539 -0.54722420 21.093750 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 573 KachelY + 1 606 0.37429131 -0.54722420 21.445312 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54197594--0.54722420) × R
    0.00524826 × 6371000     		dl = 33436.66446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54197594--0.54722420) × R
    0.00524826 × 6371000     		dr = 33436.66446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.37429131) × cos(-0.54197594) × R
    0.00613591999999996 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 33489.7227192465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.37429131) × cos(-0.54722420) × R
    0.00613591999999996 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 33383.4319231538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54197594)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.853972111029799)×R²
    abs(0.37429131-0.36815539)×0.0027189947316163×R²
    0.00613591999999996×0.0027189947316163×6371000²
    0.00613591999999996×0.0027189947316163×40589641000000     		ar = 1118010182.80876m²