Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57199 / 42142
↖ ↑ ↗
← N 53.907574°
W 22.898254°		 ← 179.89 m → N 53.907574°
W 22.895508°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
N 53.905956°
W 22.898254°		 ← 179.89 m →
32 365 m²		 N 53.905956°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436397552490234 y=0.321521759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436397552490234 × 217)
    floor (0.436397552490234 × 131072)
    floor (57199.5)     		tx = 57199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321521759033203 × 217)
    floor (0.321521759033203 × 131072)
    floor (42142.5)     		ty = 42142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57199 / 42142 ti = "17/57199/42142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57199/42142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57199 ÷ 217
    57199 ÷ 131072     		x = 0.436393737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42142 ÷ 217
    42142 ÷ 131072     		y = 0.321517944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436393737792969 × 2 - 1) × π
    -0.127212524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39964993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321517944335938 × 2 - 1) × π
    0.356964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12143582971159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39964993} λ = -0.39964993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12143582971159))-π/2
    2×atan(3.06925797279477)-π/2
    2×1.25583049457573-π/2
    2.51166098915145-1.57079632675     		φ = 0.94086466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39964993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.898254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94086466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.907574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57199 KachelY 42142 -0.39964993 0.94086466 -22.898254 53.907574
    Oben rechts KachelX + 1 57200 KachelY 42142 -0.39960200 0.94086466 -22.895508 53.907574
    Unten links KachelX 57199 KachelY + 1 42143 -0.39964993 0.94083642 -22.898254 53.905956
    Unten rechts KachelX + 1 57200 KachelY + 1 42143 -0.39960200 0.94083642 -22.895508 53.905956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94086466-0.94083642) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94086466-0.94083642) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39964993--0.39960200) × cos(0.94086466) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589089541457374 × 6371000     		do = 179.885578231095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39964993--0.39960200) × cos(0.94083642) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589112361056143 × 6371000     		du = 179.892546470099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94086466)-sin(0.94083642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589089541457374-0.589112361056143)×R²
    abs(-0.39960200--0.39964993)×2.28195987698188e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28195987698188e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28195987698188e-05×40589641000000     		ar = 32365.1076285793m²