Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57198 / 86866
↖ ↑ ↗
← S 50.433017°
W 22.901001°		 ← 194.55 m → S 50.433017°
W 22.898254°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
S 50.434766°
W 22.901001°		 ← 194.54 m →
37 841 m²		 S 50.434766°
W 22.898254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436389923095703 y=0.662738800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436389923095703 × 217)
    floor (0.436389923095703 × 131072)
    floor (57198.5)     		tx = 57198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662738800048828 × 217)
    floor (0.662738800048828 × 131072)
    floor (86866.5)     		ty = 86866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57198 / 86866 ti = "17/57198/86866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57198/86866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57198 ÷ 217
    57198 ÷ 131072     		x = 0.436386108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86866 ÷ 217
    86866 ÷ 131072     		y = 0.662734985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436386108398438 × 2 - 1) × π
    -0.127227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39969787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.325469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0224940688958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39969787} λ = -0.39969787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0224940688958))-π/2
    2×atan(0.359696712135725)-π/2
    2×0.34528706325285-π/2
    0.6905741265057-1.57079632675     		φ = -0.88022220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39969787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.901001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88022220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.433017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57198 KachelY 86866 -0.39969787 -0.88022220 -22.901001 -50.433017
    Oben rechts KachelX + 1 57199 KachelY 86866 -0.39964993 -0.88022220 -22.898254 -50.433017
    Unten links KachelX 57198 KachelY + 1 86867 -0.39969787 -0.88025273 -22.901001 -50.434766
    Unten rechts KachelX + 1 57199 KachelY + 1 86867 -0.39964993 -0.88025273 -22.898254 -50.434766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88022220--0.88025273) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dl = 194.506630000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88022220--0.88025273) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dr = 194.506630000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39969787--0.39964993) × cos(-0.88022220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636979870292117 × 6371000     		do = 194.550048249172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39969787--0.39964993) × cos(-0.88025273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636956335015587 × 6371000     		du = 194.542859969921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88022220)-sin(-0.88025273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636979870292117-0.636956335015587)×R²
    abs(-0.39964993--0.39969787)×2.35352765308727e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35352765308727e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35352765308727e-05×40589641000000     		ar = 37840.5751703499m²