Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57198 / 80973
↖ ↑ ↗
← S 38.987168°
W 22.901001°		 ← 237.40 m → S 38.987168°
W 22.898254°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 38.989302°
W 22.901001°		 ← 237.40 m →
56 355 m²		 S 38.989302°
W 22.898254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436389923095703 y=0.617778778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436389923095703 × 217)
    floor (0.436389923095703 × 131072)
    floor (57198.5)     		tx = 57198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617778778076172 × 217)
    floor (0.617778778076172 × 131072)
    floor (80973.5)     		ty = 80973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57198 / 80973 ti = "17/57198/80973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57198/80973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57198 ÷ 217
    57198 ÷ 131072     		x = 0.436386108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80973 ÷ 217
    80973 ÷ 131072     		y = 0.617774963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436386108398438 × 2 - 1) × π
    -0.127227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39969787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617774963378906 × 2 - 1) × π
    -0.235549926757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.740001919434807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39969787} λ = -0.39969787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740001919434807))-π/2
    2×atan(0.477112999732857)-π/2
    2×0.445170942197772-π/2
    0.890341884395545-1.57079632675     		φ = -0.68045444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39969787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.901001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68045444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.987168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57198 KachelY 80973 -0.39969787 -0.68045444 -22.901001 -38.987168
    Oben rechts KachelX + 1 57199 KachelY 80973 -0.39964993 -0.68045444 -22.898254 -38.987168
    Unten links KachelX 57198 KachelY + 1 80974 -0.39969787 -0.68049170 -22.901001 -38.989302
    Unten rechts KachelX + 1 57199 KachelY + 1 80974 -0.39964993 -0.68049170 -22.898254 -38.989302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68045444--0.68049170) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68045444--0.68049170) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39969787--0.39964993) × cos(-0.68045444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777286889768437 × 6371000     		do = 237.403423499943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39969787--0.39964993) × cos(-0.68049170) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777263447237032 × 6371000     		du = 237.396263547441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68045444)-sin(-0.68049170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777286889768437-0.777263447237032)×R²
    abs(-0.39964993--0.39969787)×2.34425314055153e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34425314055153e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34425314055153e-05×40589641000000     		ar = 56354.7962657962m²