Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57197 / 42143
↖ ↑ ↗
← N 53.905956°
W 22.903748°		 ← 179.93 m → N 53.905956°
W 22.901001°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
N 53.904338°
W 22.903748°		 ← 179.94 m →
32 373 m²		 N 53.904338°
W 22.901001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436382293701172 y=0.321529388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436382293701172 × 217)
    floor (0.436382293701172 × 131072)
    floor (57197.5)     		tx = 57197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321529388427734 × 217)
    floor (0.321529388427734 × 131072)
    floor (42143.5)     		ty = 42143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57197 / 42143 ti = "17/57197/42143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57197/42143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57197 ÷ 217
    57197 ÷ 131072     		x = 0.436378479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42143 ÷ 217
    42143 ÷ 131072     		y = 0.321525573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436378479003906 × 2 - 1) × π
    -0.127243041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39974581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321525573730469 × 2 - 1) × π
    0.356948852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.12138789281197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39974581} λ = -0.39974581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12138789281197))-π/2
    2×atan(3.06911084560986)-π/2
    2×1.25581637473919-π/2
    2.51163274947838-1.57079632675     		φ = 0.94083642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39974581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.903748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94083642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.905956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57197 KachelY 42143 -0.39974581 0.94083642 -22.903748 53.905956
    Oben rechts KachelX + 1 57198 KachelY 42143 -0.39969787 0.94083642 -22.901001 53.905956
    Unten links KachelX 57197 KachelY + 1 42144 -0.39974581 0.94080818 -22.903748 53.904338
    Unten rechts KachelX + 1 57198 KachelY + 1 42144 -0.39969787 0.94080818 -22.901001 53.904338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94083642-0.94080818) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94083642-0.94080818) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39974581--0.39969787) × cos(0.94083642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589112361056143 × 6371000     		do = 179.930078818602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39974581--0.39969787) × cos(0.94080818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589135180185098 × 6371000     		du = 179.937048367949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94083642)-sin(0.94080818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589112361056143-0.589135180185098)×R²
    abs(-0.39969787--0.39974581)×2.28191289541879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28191289541879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28191289541879e-05×40589641000000     		ar = 32373.1141606863m²