Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57196 / 38276
↖ ↑ ↗
← N 59.706556°
W 22.906494°		 ← 154.03 m → N 59.706556°
W 22.903748°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 59.705170°
W 22.906494°		 ← 154.04 m →
23 729 m²		 N 59.705170°
W 22.903748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436374664306641 y=0.292026519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436374664306641 × 217)
    floor (0.436374664306641 × 131072)
    floor (57196.5)     		tx = 57196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292026519775391 × 217)
    floor (0.292026519775391 × 131072)
    floor (38276.5)     		ty = 38276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57196 / 38276 ti = "17/57196/38276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57196/38276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57196 ÷ 217
    57196 ÷ 131072     		x = 0.436370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38276 ÷ 217
    38276 ÷ 131072     		y = 0.292022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292022705078125 × 2 - 1) × π
    0.41595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30675988364273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39979374} λ = -0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30675988364273))-π/2
    2×atan(3.69418471150975)-π/2
    2×1.3064361553556-π/2
    2.6128723107112-1.57079632675     		φ = 1.04207598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04207598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.706556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57196 KachelY 38276 -0.39979374 1.04207598 -22.906494 59.706556
    Oben rechts KachelX + 1 57197 KachelY 38276 -0.39974581 1.04207598 -22.903748 59.706556
    Unten links KachelX 57196 KachelY + 1 38277 -0.39979374 1.04205180 -22.906494 59.705170
    Unten rechts KachelX + 1 57197 KachelY + 1 38277 -0.39974581 1.04205180 -22.903748 59.705170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04207598-1.04205180) × R
    2.41799999998182e-05 × 6371000     		dl = 154.050779998842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04207598-1.04205180) × R
    2.41799999998182e-05 × 6371000     		dr = 154.050779998842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39979374--0.39974581) × cos(1.04207598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.504428833764523 × 6371000     		do = 154.033412668961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39979374--0.39974581) × cos(1.04205180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.504449711917157 × 6371000     		du = 154.039788064033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04207598)-sin(1.04205180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504428833764523-0.504449711917157)×R²
    abs(-0.39974581--0.39979374)×2.0878152634296e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0878152634296e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0878152634296e-05×40589641000000     		ar = 23729.4584358518m²