Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57195 / 9049
↖ ↑ ↗
← N 78.250269°
E134.181518°		 ← 124.39 m → N 78.250269°
E134.187012°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
N 78.249150°
E134.181518°		 ← 124.40 m →
15 470 m²		 N 78.249150°
E134.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872734069824219 y=0.138084411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872734069824219 × 216)
    floor (0.872734069824219 × 65536)
    floor (57195.5)     		tx = 57195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138084411621094 × 216)
    floor (0.138084411621094 × 65536)
    floor (9049.5)     		ty = 9049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57195 / 9049 ti = "16/57195/9049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57195/9049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57195 ÷ 216
    57195 ÷ 65536     		x = 0.872726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9049 ÷ 216
    9049 ÷ 65536     		y = 0.138076782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872726440429688 × 2 - 1) × π
    0.745452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34190929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138076782226562 × 2 - 1) × π
    0.723846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27403064417622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34190929} λ = 2.34190929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27403064417622))-π/2
    2×atan(9.71849376655842)-π/2
    2×1.46826058013649-π/2
    2.93652116027297-1.57079632675     		φ = 1.36572483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34190929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.181518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36572483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.250269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57195 KachelY 9049 2.34190929 1.36572483 134.181518 78.250269
    Oben rechts KachelX + 1 57196 KachelY 9049 2.34200517 1.36572483 134.187012 78.250269
    Unten links KachelX 57195 KachelY + 1 9050 2.34190929 1.36570531 134.181518 78.249150
    Unten rechts KachelX + 1 57196 KachelY + 1 9050 2.34200517 1.36570531 134.187012 78.249150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36572483-1.36570531) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36572483-1.36570531) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34190929-2.34200517) × cos(1.36572483) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.203637159106823 × 6371000     		do = 124.392060023893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34190929-2.34200517) × cos(1.36570531) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.203656270054293 × 6371000     		du = 124.403733974439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36572483)-sin(1.36570531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203637159106823-0.203656270054293)×R²
    abs(2.34200517-2.34190929)×1.91109474698414e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.91109474698414e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.91109474698414e-05×40589641000000     		ar = 15470.3613152863m²