Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57194 / 81037
↖ ↑ ↗
← S 39.123668°
W 22.911987°		 ← 236.94 m → S 39.123668°
W 22.909241°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
S 39.125799°
W 22.911987°		 ← 236.94 m →
56 125 m²		 S 39.125799°
W 22.909241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436359405517578 y=0.618267059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436359405517578 × 217)
    floor (0.436359405517578 × 131072)
    floor (57194.5)     		tx = 57194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618267059326172 × 217)
    floor (0.618267059326172 × 131072)
    floor (81037.5)     		ty = 81037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57194 / 81037 ti = "17/57194/81037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57194/81037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57194 ÷ 217
    57194 ÷ 131072     		x = 0.436355590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81037 ÷ 217
    81037 ÷ 131072     		y = 0.618263244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436355590820312 × 2 - 1) × π
    -0.127288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39988962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618263244628906 × 2 - 1) × π
    -0.236526489257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.74306988101049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39988962} λ = -0.39988962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74306988101049))-π/2
    2×atan(0.475651478474316)-π/2
    2×0.443979750160319-π/2
    0.887959500320637-1.57079632675     		φ = -0.68283683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39988962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.911987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68283683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.123668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57194 KachelY 81037 -0.39988962 -0.68283683 -22.911987 -39.123668
    Oben rechts KachelX + 1 57195 KachelY 81037 -0.39984168 -0.68283683 -22.909241 -39.123668
    Unten links KachelX 57194 KachelY + 1 81038 -0.39988962 -0.68287401 -22.911987 -39.125799
    Unten rechts KachelX + 1 57195 KachelY + 1 81038 -0.39984168 -0.68287401 -22.909241 -39.125799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68283683--0.68287401) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68283683--0.68287401) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39988962--0.39984168) × cos(-0.68283683) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.775785813432388 × 6371000     		do = 236.944956149208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39988962--0.39984168) × cos(-0.68287401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.775762352452545 × 6371000     		du = 236.937790562078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68283683)-sin(-0.68287401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775785813432388-0.775762352452545)×R²
    abs(-0.39984168--0.39988962)×2.34609798430707e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34609798430707e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34609798430707e-05×40589641000000     		ar = 56125.1987517529m²