Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57193 / 9055
↖ ↑ ↗
← N 78.243555°
E134.170532°		 ← 124.45 m → N 78.243555°
E134.176025°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 78.242436°
E134.170532°		 ← 124.46 m →
15 493 m²		 N 78.242436°
E134.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872703552246094 y=0.138175964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872703552246094 × 216)
    floor (0.872703552246094 × 65536)
    floor (57193.5)     		tx = 57193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138175964355469 × 216)
    floor (0.138175964355469 × 65536)
    floor (9055.5)     		ty = 9055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57193 / 9055 ti = "16/57193/9055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57193/9055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57193 ÷ 216
    57193 ÷ 65536     		x = 0.872695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9055 ÷ 216
    9055 ÷ 65536     		y = 0.138168334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872695922851562 × 2 - 1) × π
    0.745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34171755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138168334960938 × 2 - 1) × π
    0.723663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27345540138078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34171755} λ = 2.34171755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27345540138078))-π/2
    2×atan(9.71290488067396)-π/2
    2×1.46820199323706-π/2
    2.93640398647412-1.57079632675     		φ = 1.36560766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34171755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.170532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36560766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.243555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57193 KachelY 9055 2.34171755 1.36560766 134.170532 78.243555
    Oben rechts KachelX + 1 57194 KachelY 9055 2.34181342 1.36560766 134.176025 78.243555
    Unten links KachelX 57193 KachelY + 1 9056 2.34171755 1.36558812 134.170532 78.242436
    Unten rechts KachelX + 1 57194 KachelY + 1 9056 2.34181342 1.36558812 134.176025 78.242436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36560766-1.36558812) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36560766-1.36558812) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34171755-2.34181342) × cos(1.36560766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203751872578637 × 6371000     		do = 124.449151885627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34171755-2.34181342) × cos(1.36558812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203771002640575 × 6371000     		du = 124.460836293498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36560766)-sin(1.36558812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203751872578637-0.203771002640575)×R²
    abs(2.34181342-2.34171755)×1.91300619380719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91300619380719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91300619380719e-05×40589641000000     		ar = 15493.3200748156m²