Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57193 / 45373
↖ ↑ ↗
← N 48.347123°
W 22.914734°		 ← 202.95 m → N 48.347123°
W 22.911987°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.345298°
W 22.914734°		 ← 202.96 m →
41 195 m²		 N 48.345298°
W 22.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436351776123047 y=0.346172332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436351776123047 × 217)
    floor (0.436351776123047 × 131072)
    floor (57193.5)     		tx = 57193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346172332763672 × 217)
    floor (0.346172332763672 × 131072)
    floor (45373.5)     		ty = 45373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57193 / 45373 ti = "17/57193/45373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57193/45373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57193 ÷ 217
    57193 ÷ 131072     		x = 0.436347961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45373 ÷ 217
    45373 ÷ 131072     		y = 0.346168518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436347961425781 × 2 - 1) × π
    -0.127304077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39993755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346168518066406 × 2 - 1) × π
    0.307662963867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.966551707039192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39993755} λ = -0.39993755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966551707039192))-π/2
    2×atan(2.62886371956755)-π/2
    2×1.20730640117687-π/2
    2.41461280235375-1.57079632675     		φ = 0.84381648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39993755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84381648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.347123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57193 KachelY 45373 -0.39993755 0.84381648 -22.914734 48.347123
    Oben rechts KachelX + 1 57194 KachelY 45373 -0.39988962 0.84381648 -22.911987 48.347123
    Unten links KachelX 57193 KachelY + 1 45374 -0.39993755 0.84378462 -22.914734 48.345298
    Unten rechts KachelX + 1 57194 KachelY + 1 45374 -0.39988962 0.84378462 -22.911987 48.345298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84381648-0.84378462) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84381648-0.84378462) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(0.84381648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66461605620026 × 6371000     		do = 202.948508091795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(0.84378462) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		du = 202.955777228309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84381648)-sin(0.84378462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66461605620026-0.664639861178613)×R²
    abs(-0.39988962--0.39993755)×2.38049783529704e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38049783529704e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38049783529704e-05×40589641000000     		ar = 41195.2380978482m²