Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57193 / 30026
↖ ↑ ↗
← N 69.339650°
W 22.914734°		 ← 107.74 m → N 69.339650°
W 22.911987°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.338681°
W 22.914734°		 ← 107.74 m →
11 614 m²		 N 69.338681°
W 22.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436351776123047 y=0.229084014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436351776123047 × 217)
    floor (0.436351776123047 × 131072)
    floor (57193.5)     		tx = 57193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229084014892578 × 217)
    floor (0.229084014892578 × 131072)
    floor (30026.5)     		ty = 30026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57193 / 30026 ti = "17/57193/30026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57193/30026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57193 ÷ 217
    57193 ÷ 131072     		x = 0.436347961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30026 ÷ 217
    30026 ÷ 131072     		y = 0.229080200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436347961425781 × 2 - 1) × π
    -0.127304077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39993755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229080200195312 × 2 - 1) × π
    0.541839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70223930550819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39993755} λ = -0.39993755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70223930550819))-π/2
    2×atan(5.48621896704819)-π/2
    2×1.39050076176434-π/2
    2.78100152352868-1.57079632675     		φ = 1.21020520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39993755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21020520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.339650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57193 KachelY 30026 -0.39993755 1.21020520 -22.914734 69.339650
    Oben rechts KachelX + 1 57194 KachelY 30026 -0.39988962 1.21020520 -22.911987 69.339650
    Unten links KachelX 57193 KachelY + 1 30027 -0.39993755 1.21018828 -22.914734 69.338681
    Unten rechts KachelX + 1 57194 KachelY + 1 30027 -0.39988962 1.21018828 -22.911987 69.338681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21020520-1.21018828) × R
    1.69200000001979e-05 × 6371000     		dl = 107.797320001261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21020520-1.21018828) × R
    1.69200000001979e-05 × 6371000     		dr = 107.797320001261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(1.21020520) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.352827405384858 × 6371000     		do = 107.740092747894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(1.21018828) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.352843237182443 × 6371000     		du = 107.744927177743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21020520)-sin(1.21018828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352827405384858-0.352843237182443)×R²
    abs(-0.39988962--0.39993755)×1.58317975852973e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58317975852973e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58317975852973e-05×40589641000000     		ar = 11614.3538244804m²