Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57193 / 17782
↖ ↑ ↗
← N 78.425706°
W 22.914734°		 ← 61.27 m → N 78.425706°
W 22.911987°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.425154°
W 22.914734°		 ← 61.27 m →
3 755 m²		 N 78.425154°
W 22.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436351776123047 y=0.135669708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436351776123047 × 217)
    floor (0.436351776123047 × 131072)
    floor (57193.5)     		tx = 57193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135669708251953 × 217)
    floor (0.135669708251953 × 131072)
    floor (17782.5)     		ty = 17782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57193 / 17782 ti = "17/57193/17782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57193/17782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57193 ÷ 217
    57193 ÷ 131072     		x = 0.436347961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17782 ÷ 217
    17782 ÷ 131072     		y = 0.135665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436347961425781 × 2 - 1) × π
    -0.127304077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39993755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135665893554688 × 2 - 1) × π
    0.728668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28917870445616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39993755} λ = -0.39993755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28917870445616))-π/2
    2×atan(9.86683076840131)-π/2
    2×1.46979155096175-π/2
    2.93958310192349-1.57079632675     		φ = 1.36878678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39993755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36878678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.425706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57193 KachelY 17782 -0.39993755 1.36878678 -22.914734 78.425706
    Oben rechts KachelX + 1 57194 KachelY 17782 -0.39988962 1.36878678 -22.911987 78.425706
    Unten links KachelX 57193 KachelY + 1 17783 -0.39993755 1.36877716 -22.914734 78.425154
    Unten rechts KachelX + 1 57194 KachelY + 1 17783 -0.39988962 1.36877716 -22.911987 78.425154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36878678-1.36877716) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dl = 61.2890199995697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36878678-1.36877716) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dr = 61.2890199995697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(1.36878678) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200638417978899 × 6371000     		do = 61.2673546099916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39993755--0.39988962) × cos(1.36877716) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200647842350416 × 6371000     		du = 61.2702324552094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36878678)-sin(1.36877716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200638417978899-0.200647842350416)×R²
    abs(-0.39988962--0.39993755)×9.42437151654762e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.42437151654762e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.42437151654762e-06×40589641000000     		ar = 3755.10431220956m²