Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57192 / 8249
↖ ↑ ↗
← N 79.112351°
E134.165039°		 ← 115.38 m → N 79.112351°
E134.170532°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
N 79.111314°
E134.165039°		 ← 115.39 m →
13 313 m²		 N 79.111314°
E134.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872688293457031 y=0.125877380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872688293457031 × 216)
    floor (0.872688293457031 × 65536)
    floor (57192.5)     		tx = 57192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125877380371094 × 216)
    floor (0.125877380371094 × 65536)
    floor (8249.5)     		ty = 8249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57192 / 8249 ti = "16/57192/8249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57192/8249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57192 ÷ 216
    57192 ÷ 65536     		x = 0.8726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8249 ÷ 216
    8249 ÷ 65536     		y = 0.125869750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8726806640625 × 2 - 1) × π
    0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125869750976562 × 2 - 1) × π
    0.748260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35072968356831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34162167} λ = 2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35072968356831))-π/2
    2×atan(10.4932236647977)-π/2
    2×1.47578367059264-π/2
    2.95156734118529-1.57079632675     		φ = 1.38077101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38077101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.112351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57192 KachelY 8249 2.34162167 1.38077101 134.165039 79.112351
    Oben rechts KachelX + 1 57193 KachelY 8249 2.34171755 1.38077101 134.170532 79.112351
    Unten links KachelX 57192 KachelY + 1 8250 2.34162167 1.38075290 134.165039 79.111314
    Unten rechts KachelX + 1 57193 KachelY + 1 8250 2.34171755 1.38075290 134.170532 79.111314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38077101-1.38075290) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dl = 115.378809999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38077101-1.38075290) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dr = 115.378809999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34162167-2.34171755) × cos(1.38077101) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188883756115782 × 6371000     		do = 115.379921971209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34162167-2.34171755) × cos(1.38075290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18890154009491 × 6371000     		du = 115.390785341179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38077101)-sin(1.38075290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188883756115782-0.18890154009491)×R²
    abs(2.34171755-2.34162167)×1.77839791274947e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77839791274947e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77839791274947e-05×40589641000000     		ar = 13313.0247965202m²