Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57192 / 80953
↖ ↑ ↗
← S 38.944457°
W 22.917480°		 ← 237.55 m → S 38.944457°
W 22.914734°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 38.946594°
W 22.917480°		 ← 237.54 m →
56 434 m²		 S 38.946594°
W 22.914734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436344146728516 y=0.617626190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436344146728516 × 217)
    floor (0.436344146728516 × 131072)
    floor (57192.5)     		tx = 57192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617626190185547 × 217)
    floor (0.617626190185547 × 131072)
    floor (80953.5)     		ty = 80953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57192 / 80953 ti = "17/57192/80953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57192/80953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57192 ÷ 217
    57192 ÷ 131072     		x = 0.43634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80953 ÷ 217
    80953 ÷ 131072     		y = 0.617622375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617622375488281 × 2 - 1) × π
    -0.235244750976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.739043181442406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39998549} λ = -0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739043181442406))-π/2
    2×atan(0.477570645438477)-π/2
    2×0.445543661797065-π/2
    0.891087323594129-1.57079632675     		φ = -0.67970900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67970900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.944457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57192 KachelY 80953 -0.39998549 -0.67970900 -22.917480 -38.944457
    Oben rechts KachelX + 1 57193 KachelY 80953 -0.39993755 -0.67970900 -22.914734 -38.944457
    Unten links KachelX 57192 KachelY + 1 80954 -0.39998549 -0.67974629 -22.917480 -38.946594
    Unten rechts KachelX + 1 57193 KachelY + 1 80954 -0.39993755 -0.67974629 -22.914734 -38.946594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67970900--0.67974629) × R
    3.72899999999676e-05 × 6371000     		dl = 237.574589999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67970900--0.67974629) × R
    3.72899999999676e-05 × 6371000     		dr = 237.574589999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39998549--0.39993755) × cos(-0.67970900) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777755664595517 × 6371000     		do = 237.546599398397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39998549--0.39993755) × cos(-0.67974629) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777732224801643 × 6371000     		du = 237.539440282007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67970900)-sin(-0.67974629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777755664595517-0.777732224801643)×R²
    abs(-0.39993755--0.39998549)×2.34397938744246e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34397938744246e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34397938744246e-05×40589641000000     		ar = 56434.1855524957m²