Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57191 / 45275
↖ ↑ ↗
← N 48.525700°
W 22.920227°		 ← 202.28 m → N 48.525700°
W 22.917480°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.523881°
W 22.920227°		 ← 202.29 m →
40 917 m²		 N 48.523881°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436336517333984 y=0.345424652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436336517333984 × 217)
    floor (0.436336517333984 × 131072)
    floor (57191.5)     		tx = 57191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345424652099609 × 217)
    floor (0.345424652099609 × 131072)
    floor (45275.5)     		ty = 45275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57191 / 45275 ti = "17/57191/45275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57191/45275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57191 ÷ 217
    57191 ÷ 131072     		x = 0.436332702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45275 ÷ 217
    45275 ÷ 131072     		y = 0.345420837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436332702636719 × 2 - 1) × π
    -0.127334594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40003343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345420837402344 × 2 - 1) × π
    0.309158325195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.971249523201958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40003343} λ = -0.40003343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971249523201958))-π/2
    2×atan(2.64124269234178)-π/2
    2×1.20886478401089-π/2
    2.41772956802177-1.57079632675     		φ = 0.84693324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40003343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.920227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84693324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.525700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57191 KachelY 45275 -0.40003343 0.84693324 -22.920227 48.525700
    Oben rechts KachelX + 1 57192 KachelY 45275 -0.39998549 0.84693324 -22.917480 48.525700
    Unten links KachelX 57191 KachelY + 1 45276 -0.40003343 0.84690149 -22.920227 48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 57192 KachelY + 1 45276 -0.39998549 0.84690149 -22.917480 48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84693324-0.84690149) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84693324-0.84690149) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40003343--0.39998549) × cos(0.84693324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662284035394843 × 6371000     		do = 202.278591600758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40003343--0.39998549) × cos(0.84690149) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 202.285857204073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84693324)-sin(0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662284035394843-0.662307823839507)×R²
    abs(-0.39998549--0.40003343)×2.37884446638859e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37884446638859e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37884446638859e-05×40589641000000     		ar = 40917.4966438246m²