Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57190 / 81187
↖ ↑ ↗
← S 39.442557°
W 22.922973°		 ← 235.82 m → S 39.442557°
W 22.920227°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
S 39.444678°
W 22.922973°		 ← 235.81 m →
55 618 m²		 S 39.444678°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.619411468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619411468505859 × 217)
    floor (0.619411468505859 × 131072)
    floor (81187.5)     		ty = 81187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 81187 ti = "17/57190/81187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/81187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81187 ÷ 217
    81187 ÷ 131072     		y = 0.619407653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619407653808594 × 2 - 1) × π
    -0.238815307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.750260415953499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750260415953499))-π/2
    2×atan(0.472243556970507)-π/2
    2×0.441196924961355-π/2
    0.88239384992271-1.57079632675     		φ = -0.68840248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68840248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.442557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 81187 -0.40008136 -0.68840248 -22.922973 -39.442557
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 81187 -0.40003343 -0.68840248 -22.920227 -39.442557
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 81188 -0.40008136 -0.68843950 -22.922973 -39.444678
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 81188 -0.40003343 -0.68843950 -22.920227 -39.444678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68840248--0.68843950) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dl = 235.854419999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68840248--0.68843950) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dr = 235.854419999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.68840248) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.772261911307167 × 6371000     		do = 235.819464928308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.68843950) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.772238391813188 × 6371000     		du = 235.812282967882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68840248)-sin(-0.68843950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772261911307167-0.772238391813188)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×2.35194939792738e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35194939792738e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35194939792738e-05×40589641000000     		ar = 55618.2161830348m²