Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57190 / 80978
↖ ↑ ↗
← S 38.997841°
W 22.922973°		 ← 237.32 m → S 38.997841°
W 22.920227°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 38.999976°
W 22.922973°		 ← 237.31 m →
56 335 m²		 S 38.999976°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.617816925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617816925048828 × 217)
    floor (0.617816925048828 × 131072)
    floor (80978.5)     		ty = 80978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 80978 ti = "17/57190/80978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/80978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80978 ÷ 217
    80978 ÷ 131072     		y = 0.617813110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617813110351562 × 2 - 1) × π
    -0.235626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.740241603932907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740241603932907))-π/2
    2×atan(0.476998656846635)-π/2
    2×0.445077797412601-π/2
    0.890155594825202-1.57079632675     		φ = -0.68064073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68064073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.997841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 80978 -0.40008136 -0.68064073 -22.922973 -38.997841
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 80978 -0.40003343 -0.68064073 -22.920227 -38.997841
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 80979 -0.40008136 -0.68067799 -22.922973 -38.999976
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 80979 -0.40003343 -0.68067799 -22.920227 -38.999976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68064073--0.68067799) × R
    3.72599999999279e-05 × 6371000     		dl = 237.383459999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68064073--0.68067799) × R
    3.72599999999279e-05 × 6371000     		dr = 237.383459999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.68064073) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.777169672613839 × 6371000     		do = 237.318108883668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.68067799) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.777146224687644 × 6371000     		du = 237.310948777326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68064073)-sin(-0.68067799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777169672613839-0.777146224687644)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×2.34479261941312e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34479261941312e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34479261941312e-05×40589641000000     		ar = 56334.5439684581m²