Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57190 / 38246
↖ ↑ ↗
← N 59.748094°
W 22.922973°		 ← 153.84 m → N 59.748094°
W 22.920227°		 →
↑
153.86 m
↓
↑
153.86 m
↓
N 59.746710°
W 22.922973°		 ← 153.85 m →
23 671 m²		 N 59.746710°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.291797637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291797637939453 × 217)
    floor (0.291797637939453 × 131072)
    floor (38246.5)     		ty = 38246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 38246 ti = "17/57190/38246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/38246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38246 ÷ 217
    38246 ÷ 131072     		y = 0.291793823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291793823242188 × 2 - 1) × π
    0.416412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30819799063133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30819799063133))-π/2
    2×atan(3.69950116625966)-π/2
    2×1.30679864153389-π/2
    2.61359728306777-1.57079632675     		φ = 1.04280096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04280096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.748094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 38246 -0.40008136 1.04280096 -22.922973 59.748094
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 38246 -0.40003343 1.04280096 -22.920227 59.748094
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 38247 -0.40008136 1.04277681 -22.922973 59.746710
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 38247 -0.40003343 1.04277681 -22.920227 59.746710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04280096-1.04277681) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dl = 153.859650000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04280096-1.04277681) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dr = 153.859650000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.04280096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.50380271490387 × 6371000     		do = 153.842219742473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.04277681) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.503823575979649 × 6371000     		du = 153.848589922921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04280096)-sin(1.04277681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50380271490387-0.503823575979649)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×2.08610757784777e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08610757784777e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08610757784777e-05×40589641000000     		ar = 23670.6001427763m²