Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57190 / 29766
↖ ↑ ↗
← N 69.590144°
W 22.922973°		 ← 106.49 m → N 69.590144°
W 22.920227°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.589186°
W 22.922973°		 ← 106.49 m →
11 344 m²		 N 69.589186°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.227100372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227100372314453 × 217)
    floor (0.227100372314453 × 131072)
    floor (29766.5)     		ty = 29766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 29766 ti = "17/57190/29766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/29766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29766 ÷ 217
    29766 ÷ 131072     		y = 0.227096557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227096557617188 × 2 - 1) × π
    0.545806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71470289940941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71470289940941))-π/2
    2×atan(5.55502486600112)-π/2
    2×1.39268673229419-π/2
    2.78537346458839-1.57079632675     		φ = 1.21457714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21457714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.590144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 29766 -0.40008136 1.21457714 -22.922973 69.590144
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 29766 -0.40003343 1.21457714 -22.920227 69.590144
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 29767 -0.40008136 1.21456042 -22.922973 69.589186
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 29767 -0.40003343 1.21456042 -22.920227 69.589186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21457714-1.21456042) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21457714-1.21456042) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.21457714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.348733272838046 × 6371000     		do = 106.489900122311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.21456042) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.348748943141381 × 6371000     		du = 106.494685237949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21457714)-sin(1.21456042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348733272838046-0.348748943141381)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×1.56703033357131e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.56703033357131e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.56703033357131e-05×40589641000000     		ar = 11343.8912726148m²