Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57190 / 17786
↖ ↑ ↗
← N 78.423501°
W 22.922973°		 ← 61.28 m → N 78.423501°
W 22.920227°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.422950°
W 22.922973°		 ← 61.28 m →
3 756 m²		 N 78.422950°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.135700225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135700225830078 × 217)
    floor (0.135700225830078 × 131072)
    floor (17786.5)     		ty = 17786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 17786 ti = "17/57190/17786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/17786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17786 ÷ 217
    17786 ÷ 131072     		y = 0.135696411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135696411132812 × 2 - 1) × π
    0.728607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28898695685768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28898695685768))-π/2
    2×atan(9.86493900867285)-π/2
    2×1.46977231318705-π/2
    2.93954462637411-1.57079632675     		φ = 1.36874830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36874830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.423501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 17786 -0.40008136 1.36874830 -22.922973 78.423501
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 17786 -0.40003343 1.36874830 -22.920227 78.423501
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 17787 -0.40008136 1.36873868 -22.922973 78.422950
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 17787 -0.40003343 1.36873868 -22.920227 78.422950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36874830-1.36873868) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dl = 61.2890199995697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36874830-1.36873868) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dr = 61.2890199995697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.36874830) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200676115353549 × 6371000     		do = 61.2788659568404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(1.36873868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200685539650785 × 6371000     		du = 61.2817437793757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36874830)-sin(1.36873868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200676115353549-0.200685539650785)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×9.42429723596594e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.42429723596594e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.42429723596594e-06×40589641000000     		ar = 3755.80983083728m²