Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57189 / 84970
↖ ↑ ↗
← S 46.998988°
W 22.925720°		 ← 208.30 m → S 46.998988°
W 22.922973°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 47.000861°
W 22.925720°		 ← 208.30 m →
43 382 m²		 S 47.000861°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436321258544922 y=0.648273468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436321258544922 × 217)
    floor (0.436321258544922 × 131072)
    floor (57189.5)     		tx = 57189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648273468017578 × 217)
    floor (0.648273468017578 × 131072)
    floor (84970.5)     		ty = 84970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57189 / 84970 ti = "17/57189/84970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57189/84970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57189 ÷ 217
    57189 ÷ 131072     		x = 0.436317443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84970 ÷ 217
    84970 ÷ 131072     		y = 0.648269653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436317443847656 × 2 - 1) × π
    -0.127365112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40012930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648269653320312 × 2 - 1) × π
    -0.296539306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.931605707216171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40012930} λ = -0.40012930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931605707216171))-π/2
    2×atan(0.393920680997619)-π/2
    2×0.375254623711573-π/2
    0.750509247423145-1.57079632675     		φ = -0.82028708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40012930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.925720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82028708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.998988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57189 KachelY 84970 -0.40012930 -0.82028708 -22.925720 -46.998988
    Oben rechts KachelX + 1 57190 KachelY 84970 -0.40008136 -0.82028708 -22.922973 -46.998988
    Unten links KachelX 57189 KachelY + 1 84971 -0.40012930 -0.82031977 -22.925720 -47.000861
    Unten rechts KachelX + 1 57190 KachelY + 1 84971 -0.40008136 -0.82031977 -22.922973 -47.000861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82028708--0.82031977) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82028708--0.82031977) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40012930--0.40008136) × cos(-0.82028708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682011281833094 × 6371000     		do = 208.303800442326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40012930--0.40008136) × cos(-0.82031977) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.681987373910094 × 6371000     		du = 208.296498347252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82028708)-sin(-0.82031977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682011281833094-0.681987373910094)×R²
    abs(-0.40008136--0.40012930)×2.39079229994443e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39079229994443e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39079229994443e-05×40589641000000     		ar = 43382.2534351093m²