Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57189 / 17787
↖ ↑ ↗
← N 78.422950°
W 22.925720°		 ← 61.29 m → N 78.422950°
W 22.922973°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.422398°
W 22.925720°		 ← 61.30 m →
3 757 m²		 N 78.422398°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436321258544922 y=0.135707855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436321258544922 × 217)
    floor (0.436321258544922 × 131072)
    floor (57189.5)     		tx = 57189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135707855224609 × 217)
    floor (0.135707855224609 × 131072)
    floor (17787.5)     		ty = 17787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57189 / 17787 ti = "17/57189/17787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57189/17787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57189 ÷ 217
    57189 ÷ 131072     		x = 0.436317443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17787 ÷ 217
    17787 ÷ 131072     		y = 0.135704040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436317443847656 × 2 - 1) × π
    -0.127365112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40012930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135704040527344 × 2 - 1) × π
    0.728591918945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.28893901995806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40012930} λ = -0.40012930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28893901995806))-π/2
    2×atan(9.8644661254162)-π/2
    2×1.4697675031787-π/2
    2.9395350063574-1.57079632675     		φ = 1.36873868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40012930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.925720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36873868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.422950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57189 KachelY 17787 -0.40012930 1.36873868 -22.925720 78.422950
    Oben rechts KachelX + 1 57190 KachelY 17787 -0.40008136 1.36873868 -22.922973 78.422950
    Unten links KachelX 57189 KachelY + 1 17788 -0.40012930 1.36872906 -22.925720 78.422398
    Unten rechts KachelX + 1 57190 KachelY + 1 17788 -0.40008136 1.36872906 -22.922973 78.422398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36873868-1.36872906) × R
    9.6200000001545e-06 × 6371000     		dl = 61.2890200009844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36873868-1.36872906) × R
    9.6200000001545e-06 × 6371000     		dr = 61.2890200009844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40012930--0.40008136) × cos(1.36873868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200685539650785 × 6371000     		do = 61.2945294551711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40012930--0.40008136) × cos(1.36872906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.200694963929449 × 6371000     		du = 61.297407872456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36873868)-sin(1.36872906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200685539650785-0.200694963929449)×R²
    abs(-0.40008136--0.40012930)×9.42427866387763e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.42427866387763e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.42427866387763e-06×40589641000000     		ar = 3756.76984940741m²