Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57188 / 38252
↖ ↑ ↗
← N 59.739790°
W 22.928467°		 ← 153.91 m → N 59.739790°
W 22.925720°		 →
↑
153.86 m
↓
↑
153.86 m
↓
N 59.738406°
W 22.928467°		 ← 153.92 m →
23 681 m²		 N 59.738406°
W 22.925720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436313629150391 y=0.291843414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436313629150391 × 217)
    floor (0.436313629150391 × 131072)
    floor (57188.5)     		tx = 57188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291843414306641 × 217)
    floor (0.291843414306641 × 131072)
    floor (38252.5)     		ty = 38252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57188 / 38252 ti = "17/57188/38252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57188/38252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57188 ÷ 217
    57188 ÷ 131072     		x = 0.436309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38252 ÷ 217
    38252 ÷ 131072     		y = 0.291839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40017724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291839599609375 × 2 - 1) × π
    0.41632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30791036923361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40017724} λ = -0.40017724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30791036923361))-π/2
    2×atan(3.69843726357127)-π/2
    2×1.30672618031194-π/2
    2.61345236062387-1.57079632675     		φ = 1.04265603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40017724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04265603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.739790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57188 KachelY 38252 -0.40017724 1.04265603 -22.928467 59.739790
    Oben rechts KachelX + 1 57189 KachelY 38252 -0.40012930 1.04265603 -22.925720 59.739790
    Unten links KachelX 57188 KachelY + 1 38253 -0.40017724 1.04263188 -22.928467 59.738406
    Unten rechts KachelX + 1 57189 KachelY + 1 38253 -0.40012930 1.04263188 -22.925720 59.738406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04265603-1.04263188) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dl = 153.859650000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04265603-1.04263188) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dr = 153.859650000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40017724--0.40012930) × cos(1.04265603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.503927902863052 × 6371000     		do = 153.912552638495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40017724--0.40012930) × cos(1.04263188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.503948762175235 × 6371000     		du = 153.918923609354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04265603)-sin(1.04263188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503927902863052-0.503948762175235)×R²
    abs(-0.40012930--0.40017724)×2.085931218343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.085931218343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.085931218343e-05×40589641000000     		ar = 23681.4215984464m²