Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57187 / 29767
↖ ↑ ↗
← N 69.589186°
W 22.931213°		 ← 106.49 m → N 69.589186°
W 22.928467°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.588228°
W 22.931213°		 ← 106.50 m →
11 344 m²		 N 69.588228°
W 22.928467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436305999755859 y=0.227108001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436305999755859 × 217)
    floor (0.436305999755859 × 131072)
    floor (57187.5)     		tx = 57187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227108001708984 × 217)
    floor (0.227108001708984 × 131072)
    floor (29767.5)     		ty = 29767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57187 / 29767 ti = "17/57187/29767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57187/29767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57187 ÷ 217
    57187 ÷ 131072     		x = 0.436302185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29767 ÷ 217
    29767 ÷ 131072     		y = 0.227104187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436302185058594 × 2 - 1) × π
    -0.127395629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40022517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227104187011719 × 2 - 1) × π
    0.545791625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.71465496250979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40022517} λ = -0.40022517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71465496250979))-π/2
    2×atan(5.5547585817142)-π/2
    2×1.39267837351043-π/2
    2.78535674702086-1.57079632675     		φ = 1.21456042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40022517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.931213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21456042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.589186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57187 KachelY 29767 -0.40022517 1.21456042 -22.931213 69.589186
    Oben rechts KachelX + 1 57188 KachelY 29767 -0.40017724 1.21456042 -22.928467 69.589186
    Unten links KachelX 57187 KachelY + 1 29768 -0.40022517 1.21454370 -22.931213 69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 57188 KachelY + 1 29768 -0.40017724 1.21454370 -22.928467 69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21456042-1.21454370) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21456042-1.21454370) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40022517--0.40017724) × cos(1.21456042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348748943141381 × 6371000     		do = 106.494685238072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40022517--0.40017724) × cos(1.21454370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 106.499470323938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21456042)-sin(1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348748943141381-0.348764613347221)×R²
    abs(-0.40017724--0.40022517)×1.56702058400349e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56702058400349e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56702058400349e-05×40589641000000     		ar = 11344.4009962384m²