Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57186 / 9022
↖ ↑ ↗
← N 78.280433°
E134.132080°		 ← 124.06 m → N 78.280433°
E134.137573°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
N 78.279317°
E134.132080°		 ← 124.08 m →
15 398 m²		 N 78.279317°
E134.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872596740722656 y=0.137672424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872596740722656 × 216)
    floor (0.872596740722656 × 65536)
    floor (57186.5)     		tx = 57186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137672424316406 × 216)
    floor (0.137672424316406 × 65536)
    floor (9022.5)     		ty = 9022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57186 / 9022 ti = "16/57186/9022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57186/9022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57186 ÷ 216
    57186 ÷ 65536     		x = 0.872589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9022 ÷ 216
    9022 ÷ 65536     		y = 0.137664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872589111328125 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137664794921875 × 2 - 1) × π
    0.72467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27661923675571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34104643} λ = 2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27661923675571))-π/2
    2×atan(9.74368357641772)-π/2
    2×1.46852381323578-π/2
    2.93704762647156-1.57079632675     		φ = 1.36625130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36625130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.280433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57186 KachelY 9022 2.34104643 1.36625130 134.132080 78.280433
    Oben rechts KachelX + 1 57187 KachelY 9022 2.34114230 1.36625130 134.137573 78.280433
    Unten links KachelX 57186 KachelY + 1 9023 2.34104643 1.36623182 134.132080 78.279317
    Unten rechts KachelX + 1 57187 KachelY + 1 9023 2.34114230 1.36623182 134.137573 78.279317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36625130-1.36623182) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36625130-1.36623182) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34104643-2.34114230) × cos(1.36625130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203121692336764 × 6371000     		do = 124.064245500995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34104643-2.34114230) × cos(1.36623182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203140766208419 × 6371000     		du = 124.075895588529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36625130)-sin(1.36623182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203121692336764-0.203140766208419)×R²
    abs(2.34114230-2.34104643)×1.90738716547567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90738716547567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90738716547567e-05×40589641000000     		ar = 15397.9741712331m²