Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57186 / 17761
↖ ↑ ↗
← N 78.437272°
W 22.933960°		 ← 61.22 m → N 78.437272°
W 22.931213°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.436721°
W 22.933960°		 ← 61.22 m →
3 748 m²		 N 78.436721°
W 22.931213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436298370361328 y=0.135509490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436298370361328 × 217)
    floor (0.436298370361328 × 131072)
    floor (57186.5)     		tx = 57186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135509490966797 × 217)
    floor (0.135509490966797 × 131072)
    floor (17761.5)     		ty = 17761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57186 / 17761 ti = "17/57186/17761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57186/17761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57186 ÷ 217
    57186 ÷ 131072     		x = 0.436294555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17761 ÷ 217
    17761 ÷ 131072     		y = 0.135505676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436294555664062 × 2 - 1) × π
    -0.127410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40027311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135505676269531 × 2 - 1) × π
    0.728988647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.29018537934818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40027311} λ = -0.40027311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29018537934818))-π/2
    2×atan(9.87676846037295)-π/2
    2×1.46989249001089-π/2
    2.93978498002177-1.57079632675     		φ = 1.36898865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40027311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.933960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36898865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57186 KachelY 17761 -0.40027311 1.36898865 -22.933960 78.437272
    Oben rechts KachelX + 1 57187 KachelY 17761 -0.40022517 1.36898865 -22.931213 78.437272
    Unten links KachelX 57186 KachelY + 1 17762 -0.40027311 1.36897904 -22.933960 78.436721
    Unten rechts KachelX + 1 57187 KachelY + 1 17762 -0.40022517 1.36897904 -22.931213 78.436721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36898865-1.36897904) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36898865-1.36897904) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40027311--0.40022517) × cos(1.36898865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200440648845073 × 6371000     		do = 61.2197334995465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40027311--0.40022517) × cos(1.36897904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200450063809005 × 6371000     		du = 61.2226090718726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36898865)-sin(1.36897904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200440648845073-0.200450063809005)×R²
    abs(-0.40022517--0.40027311)×9.41496393222496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.41496393222496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.41496393222496e-06×40589641000000     		ar = 3748.28519069416m²