Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57185 / 45365
↖ ↑ ↗
← N 48.361724°
W 22.936707°		 ← 202.93 m → N 48.361724°
W 22.933960°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 48.359899°
W 22.936707°		 ← 202.94 m →
41 179 m²		 N 48.359899°
W 22.933960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436290740966797 y=0.346111297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436290740966797 × 217)
    floor (0.436290740966797 × 131072)
    floor (57185.5)     		tx = 57185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346111297607422 × 217)
    floor (0.346111297607422 × 131072)
    floor (45365.5)     		ty = 45365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57185 / 45365 ti = "17/57185/45365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57185/45365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57185 ÷ 217
    57185 ÷ 131072     		x = 0.436286926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45365 ÷ 217
    45365 ÷ 131072     		y = 0.346107482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436286926269531 × 2 - 1) × π
    -0.127426147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40032105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346107482910156 × 2 - 1) × π
    0.307785034179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.966935202236153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40032105} λ = -0.40032105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966935202236153))-π/2
    2×atan(2.62987206951379)-π/2
    2×1.20743382145232-π/2
    2.41486764290465-1.57079632675     		φ = 0.84407132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40032105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.936707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84407132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.361724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57185 KachelY 45365 -0.40032105 0.84407132 -22.936707 48.361724
    Oben rechts KachelX + 1 57186 KachelY 45365 -0.40027311 0.84407132 -22.933960 48.361724
    Unten links KachelX 57185 KachelY + 1 45366 -0.40032105 0.84403947 -22.936707 48.359899
    Unten rechts KachelX + 1 57186 KachelY + 1 45366 -0.40027311 0.84403947 -22.933960 48.359899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84407132-0.84403947) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dl = 202.916349999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84407132-0.84403947) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dr = 202.916349999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40032105--0.40027311) × cos(0.84407132) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664425621983146 × 6371000     		do = 202.932687269264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40032105--0.40027311) × cos(0.84403947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664449424883642 × 6371000     		du = 202.939957287763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84407132)-sin(0.84403947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664425621983146-0.664449424883642)×R²
    abs(-0.40027311--0.40032105)×2.38029004965279e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38029004965279e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38029004965279e-05×40589641000000     		ar = 41179.097802499m²