Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57184 / 17760
↖ ↑ ↗
← N 78.437822°
W 22.939453°		 ← 61.22 m → N 78.437822°
W 22.936707°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.437272°
W 22.939453°		 ← 61.22 m →
3 748 m²		 N 78.437272°
W 22.936707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436283111572266 y=0.135501861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436283111572266 × 217)
    floor (0.436283111572266 × 131072)
    floor (57184.5)     		tx = 57184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135501861572266 × 217)
    floor (0.135501861572266 × 131072)
    floor (17760.5)     		ty = 17760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57184 / 17760 ti = "17/57184/17760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57184/17760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57184 ÷ 217
    57184 ÷ 131072     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17760 ÷ 217
    17760 ÷ 131072     		y = 0.135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    0.72900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2902333162478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2902333162478))-π/2
    2×atan(9.87724193337953)-π/2
    2×1.46989729414963-π/2
    2.93979458829926-1.57079632675     		φ = 1.36899826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36899826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57184 KachelY 17760 -0.40036899 1.36899826 -22.939453 78.437822
    Oben rechts KachelX + 1 57185 KachelY 17760 -0.40032105 1.36899826 -22.936707 78.437822
    Unten links KachelX 57184 KachelY + 1 17761 -0.40036899 1.36898865 -22.939453 78.437272
    Unten rechts KachelX + 1 57185 KachelY + 1 17761 -0.40032105 1.36898865 -22.936707 78.437272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36899826-1.36898865) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36899826-1.36898865) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.40032105) × cos(1.36899826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20043123386263 × 6371000     		do = 61.2168579215667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.40032105) × cos(1.36898865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200440648845073 × 6371000     		du = 61.2197334995465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36899826)-sin(1.36898865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20043123386263-0.200440648845073)×R²
    abs(-0.40032105--0.40036899)×9.41498244333427e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.41498244333427e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.41498244333427e-06×40589641000000     		ar = 3748.10913236929m²