Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57183 / 86883
↖ ↑ ↗
← S 50.462750°
W 22.942200°		 ← 194.39 m → S 50.462750°
W 22.939453°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 50.464498°
W 22.942200°		 ← 194.38 m →
37 784 m²		 S 50.464498°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436275482177734 y=0.662868499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436275482177734 × 217)
    floor (0.436275482177734 × 131072)
    floor (57183.5)     		tx = 57183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662868499755859 × 217)
    floor (0.662868499755859 × 131072)
    floor (86883.5)     		ty = 86883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57183 / 86883 ti = "17/57183/86883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57183/86883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57183 ÷ 217
    57183 ÷ 131072     		x = 0.436271667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86883 ÷ 217
    86883 ÷ 131072     		y = 0.662864685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436271667480469 × 2 - 1) × π
    -0.127456665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40041692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662864685058594 × 2 - 1) × π
    -0.325729370117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.02330899618934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40041692} λ = -0.40041692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02330899618934))-π/2
    2×atan(0.359403704873632)-π/2
    2×0.345027598631586-π/2
    0.690055197263173-1.57079632675     		φ = -0.88074113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40041692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.942200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88074113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.462750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57183 KachelY 86883 -0.40041692 -0.88074113 -22.942200 -50.462750
    Oben rechts KachelX + 1 57184 KachelY 86883 -0.40036899 -0.88074113 -22.939453 -50.462750
    Unten links KachelX 57183 KachelY + 1 86884 -0.40041692 -0.88077164 -22.942200 -50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 57184 KachelY + 1 86884 -0.40036899 -0.88077164 -22.939453 -50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88074113--0.88077164) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88074113--0.88077164) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40041692--0.40036899) × cos(-0.88074113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636579751560386 × 6371000     		do = 194.387285193494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40041692--0.40036899) × cos(-0.88077164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		du = 194.38010004319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88074113)-sin(-0.88077164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636579751560386-0.636556221620188)×R²
    abs(-0.40036899--0.40041692)×2.35299401982747e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35299401982747e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35299401982747e-05×40589641000000     		ar = 37784.1486109761m²