Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57183 / 17659
↖ ↑ ↗
← N 78.493292°
W 22.942200°		 ← 60.91 m → N 78.493292°
W 22.939453°		 →
↑
60.97 m
↓
↑
60.97 m
↓
N 78.492743°
W 22.942200°		 ← 60.92 m →
3 714 m²		 N 78.492743°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436275482177734 y=0.134731292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436275482177734 × 217)
    floor (0.436275482177734 × 131072)
    floor (57183.5)     		tx = 57183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134731292724609 × 217)
    floor (0.134731292724609 × 131072)
    floor (17659.5)     		ty = 17659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57183 / 17659 ti = "17/57183/17659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57183/17659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57183 ÷ 217
    57183 ÷ 131072     		x = 0.436271667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17659 ÷ 217
    17659 ÷ 131072     		y = 0.134727478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436271667480469 × 2 - 1) × π
    -0.127456665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40041692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134727478027344 × 2 - 1) × π
    0.730545043945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.29507494310943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40041692} λ = -0.40041692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29507494310943))-π/2
    2×atan(9.92517980825028)-π/2
    2×1.47038135175103-π/2
    2.94076270350206-1.57079632675     		φ = 1.36996638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40041692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.942200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36996638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.493292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57183 KachelY 17659 -0.40041692 1.36996638 -22.942200 78.493292
    Oben rechts KachelX + 1 57184 KachelY 17659 -0.40036899 1.36996638 -22.939453 78.493292
    Unten links KachelX 57183 KachelY + 1 17660 -0.40041692 1.36995681 -22.942200 78.492743
    Unten rechts KachelX + 1 57184 KachelY + 1 17660 -0.40036899 1.36995681 -22.939453 78.492743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36996638-1.36995681) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dl = 60.970470000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36996638-1.36995681) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dr = 60.970470000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40041692--0.40036899) × cos(1.36996638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199482665393872 × 6371000     		do = 60.9144316545207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40041692--0.40036899) × cos(1.36995681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199492043040707 × 6371000     		du = 60.9172952317951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36996638)-sin(1.36995681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199482665393872-0.199492043040707)×R²
    abs(-0.40036899--0.40041692)×9.37764683572873e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.37764683572873e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.37764683572873e-06×40589641000000     		ar = 3714.0688244511m²