Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57182 / 81123
↖ ↑ ↗
← S 39.306675°
W 22.944946°		 ← 236.33 m → S 39.306675°
W 22.942200°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
S 39.308800°
W 22.944946°		 ← 236.32 m →
55 844 m²		 S 39.308800°
W 22.942200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436267852783203 y=0.618923187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436267852783203 × 217)
    floor (0.436267852783203 × 131072)
    floor (57182.5)     		tx = 57182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618923187255859 × 217)
    floor (0.618923187255859 × 131072)
    floor (81123.5)     		ty = 81123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57182 / 81123 ti = "17/57182/81123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57182/81123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57182 ÷ 217
    57182 ÷ 131072     		x = 0.436264038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81123 ÷ 217
    81123 ÷ 131072     		y = 0.618919372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436264038085938 × 2 - 1) × π
    -0.127471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40046486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618919372558594 × 2 - 1) × π
    -0.237838745117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.747192454377815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40046486} λ = -0.40046486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747192454377815))-π/2
    2×atan(0.473694606802067)-π/2
    2×0.442382714018489-π/2
    0.884765428036979-1.57079632675     		φ = -0.68603090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40046486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68603090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.306675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57182 KachelY 81123 -0.40046486 -0.68603090 -22.944946 -39.306675
    Oben rechts KachelX + 1 57183 KachelY 81123 -0.40041692 -0.68603090 -22.942200 -39.306675
    Unten links KachelX 57182 KachelY + 1 81124 -0.40046486 -0.68606799 -22.944946 -39.308800
    Unten rechts KachelX + 1 57183 KachelY + 1 81124 -0.40041692 -0.68606799 -22.942200 -39.308800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68603090--0.68606799) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dl = 236.300389999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68603090--0.68606799) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dr = 236.300389999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(-0.68603090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773766413091145 × 6371000     		do = 236.328179305354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(-0.68606799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773742917118655 × 6371000     		du = 236.321003030569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68603090)-sin(-0.68606799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773766413091145-0.773742917118655)×R²
    abs(-0.40041692--0.40046486)×2.34959724895178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34959724895178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34959724895178e-05×40589641000000     		ar = 55843.5930659284m²