Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57182 / 45361
↖ ↑ ↗
← N 48.369023°
W 22.944946°		 ← 202.90 m → N 48.369023°
W 22.942200°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 48.367198°
W 22.944946°		 ← 202.91 m →
41 173 m²		 N 48.367198°
W 22.942200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436267852783203 y=0.346080780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436267852783203 × 217)
    floor (0.436267852783203 × 131072)
    floor (57182.5)     		tx = 57182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346080780029297 × 217)
    floor (0.346080780029297 × 131072)
    floor (45361.5)     		ty = 45361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57182 / 45361 ti = "17/57182/45361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57182/45361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57182 ÷ 217
    57182 ÷ 131072     		x = 0.436264038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45361 ÷ 217
    45361 ÷ 131072     		y = 0.346076965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436264038085938 × 2 - 1) × π
    -0.127471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40046486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346076965332031 × 2 - 1) × π
    0.307846069335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.967126949834633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40046486} λ = -0.40046486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967126949834633))-π/2
    2×atan(2.63037638951696)-π/2
    2×1.20749751789706-π/2
    2.41499503579411-1.57079632675     		φ = 0.84419871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40046486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84419871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.369023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57182 KachelY 45361 -0.40046486 0.84419871 -22.944946 48.369023
    Oben rechts KachelX + 1 57183 KachelY 45361 -0.40041692 0.84419871 -22.942200 48.369023
    Unten links KachelX 57182 KachelY + 1 45362 -0.40046486 0.84416686 -22.944946 48.367198
    Unten rechts KachelX + 1 57183 KachelY + 1 45362 -0.40041692 0.84416686 -22.942200 48.367198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84419871-0.84416686) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84419871-0.84416686) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(0.84419871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664330411115708 × 6371000     		do = 202.903607419386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(0.84416686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		du = 202.910878261214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84419871)-sin(0.84416686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664330411115708-0.664354216711882)×R²
    abs(-0.40041692--0.40046486)×2.38055961733208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38055961733208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38055961733208e-05×40589641000000     		ar = 41173.1971092484m²