Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57182 / 45305
↖ ↑ ↗
← N 48.471100°
W 22.944946°		 ← 202.50 m → N 48.471100°
W 22.942200°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 48.469279°
W 22.944946°		 ← 202.50 m →
41 000 m²		 N 48.469279°
W 22.942200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436267852783203 y=0.345653533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436267852783203 × 217)
    floor (0.436267852783203 × 131072)
    floor (57182.5)     		tx = 57182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345653533935547 × 217)
    floor (0.345653533935547 × 131072)
    floor (45305.5)     		ty = 45305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57182 / 45305 ti = "17/57182/45305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57182/45305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57182 ÷ 217
    57182 ÷ 131072     		x = 0.436264038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45305 ÷ 217
    45305 ÷ 131072     		y = 0.345649719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436264038085938 × 2 - 1) × π
    -0.127471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40046486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345649719238281 × 2 - 1) × π
    0.308700561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.969811416213356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40046486} λ = -0.40046486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969811416213356))-π/2
    2×atan(2.63744703270383)-π/2
    2×1.20838830977796-π/2
    2.41677661955593-1.57079632675     		φ = 0.84598029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40046486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84598029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.471100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57182 KachelY 45305 -0.40046486 0.84598029 -22.944946 48.471100
    Oben rechts KachelX + 1 57183 KachelY 45305 -0.40041692 0.84598029 -22.942200 48.471100
    Unten links KachelX 57182 KachelY + 1 45306 -0.40046486 0.84594851 -22.944946 48.469279
    Unten rechts KachelX + 1 57183 KachelY + 1 45306 -0.40041692 0.84594851 -22.942200 48.469279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84598029-0.84594851) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dl = 202.470379999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84598029-0.84594851) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dr = 202.470379999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(0.84598029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662997735090376 × 6371000     		do = 202.496573858169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40046486--0.40041692) × cos(0.84594851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663021525943718 × 6371000     		du = 202.503840197157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84598029)-sin(0.84594851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662997735090376-0.663021525943718)×R²
    abs(-0.40041692--0.40046486)×2.37908533424758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37908533424758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37908533424758e-05×40589641000000     		ar = 41000.293870175m²