Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57180 / 45372
↖ ↑ ↗
← N 48.348948°
W 22.950439°		 ← 202.94 m → N 48.348948°
W 22.947693°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 48.347123°
W 22.950439°		 ← 202.95 m →
41 181 m²		 N 48.347123°
W 22.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436252593994141 y=0.346164703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436252593994141 × 217)
    floor (0.436252593994141 × 131072)
    floor (57180.5)     		tx = 57180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346164703369141 × 217)
    floor (0.346164703369141 × 131072)
    floor (45372.5)     		ty = 45372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57180 / 45372 ti = "17/57180/45372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57180/45372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57180 ÷ 217
    57180 ÷ 131072     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45372 ÷ 217
    45372 ÷ 131072     		y = 0.346160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346160888671875 × 2 - 1) × π
    0.30767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966599643938812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966599643938812))-π/2
    2×atan(2.62898974216433)-π/2
    2×1.20732233070826-π/2
    2.41464466141651-1.57079632675     		φ = 0.84384833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84384833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.348948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57180 KachelY 45372 -0.40056073 0.84384833 -22.950439 48.348948
    Oben rechts KachelX + 1 57181 KachelY 45372 -0.40051280 0.84384833 -22.947693 48.348948
    Unten links KachelX 57180 KachelY + 1 45373 -0.40056073 0.84381648 -22.950439 48.347123
    Unten rechts KachelX + 1 57181 KachelY + 1 45373 -0.40051280 0.84381648 -22.947693 48.347123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84384833-0.84381648) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84384833-0.84381648) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(0.84384833) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664592258019345 × 6371000     		do = 202.94124103096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(0.84381648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66461605620026 × 6371000     		du = 202.948508091795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84384833)-sin(0.84381648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664592258019345-0.66461605620026)×R²
    abs(-0.40051280--0.40056073)×2.37981809158017e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37981809158017e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37981809158017e-05×40589641000000     		ar = 41180.8332007756m²