Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57180 / 38374
↖ ↑ ↗
← N 59.570506°
W 22.950439°		 ← 154.66 m → N 59.570506°
W 22.947693°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 59.569114°
W 22.950439°		 ← 154.67 m →
23 924 m²		 N 59.569114°
W 22.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436252593994141 y=0.292774200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436252593994141 × 217)
    floor (0.436252593994141 × 131072)
    floor (57180.5)     		tx = 57180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292774200439453 × 217)
    floor (0.292774200439453 × 131072)
    floor (38374.5)     		ty = 38374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57180 / 38374 ti = "17/57180/38374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57180/38374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57180 ÷ 217
    57180 ÷ 131072     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38374 ÷ 217
    38374 ÷ 131072     		y = 0.292770385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292770385742188 × 2 - 1) × π
    0.414459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30206206747997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30206206747997))-π/2
    2×atan(3.6768708114659)-π/2
    2×1.3052488931673-π/2
    2.61049778633461-1.57079632675     		φ = 1.03970146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03970146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.570506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57180 KachelY 38374 -0.40056073 1.03970146 -22.950439 59.570506
    Oben rechts KachelX + 1 57181 KachelY 38374 -0.40051280 1.03970146 -22.947693 59.570506
    Unten links KachelX 57180 KachelY + 1 38375 -0.40056073 1.03967718 -22.950439 59.569114
    Unten rechts KachelX + 1 57181 KachelY + 1 38375 -0.40051280 1.03967718 -22.947693 59.569114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03970146-1.03967718) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dl = 154.687880000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03970146-1.03967718) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dr = 154.687880000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(1.03970146) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.506477696828229 × 6371000     		do = 154.659057653108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(1.03967718) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.506498632183279 × 6371000     		du = 154.665450515625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03970146)-sin(1.03967718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506477696828229-0.506498632183279)×R²
    abs(-0.40051280--0.40056073)×2.09353550501001e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09353550501001e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09353550501001e-05×40589641000000     		ar = 23924.3762016459m²