Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57180 / 17780
↖ ↑ ↗
← N 78.426807°
W 22.950439°		 ← 61.26 m → N 78.426807°
W 22.947693°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.426256°
W 22.950439°		 ← 61.26 m →
3 755 m²		 N 78.426256°
W 22.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436252593994141 y=0.135654449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436252593994141 × 217)
    floor (0.436252593994141 × 131072)
    floor (57180.5)     		tx = 57180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135654449462891 × 217)
    floor (0.135654449462891 × 131072)
    floor (17780.5)     		ty = 17780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57180 / 17780 ti = "17/57180/17780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57180/17780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57180 ÷ 217
    57180 ÷ 131072     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17780 ÷ 217
    17780 ÷ 131072     		y = 0.135650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135650634765625 × 2 - 1) × π
    0.72869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2892745782554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2892745782554))-π/2
    2×atan(9.86777678430188)-π/2
    2×1.46980116849401-π/2
    2.93960233698802-1.57079632675     		φ = 1.36880601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36880601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.426807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57180 KachelY 17780 -0.40056073 1.36880601 -22.950439 78.426807
    Oben rechts KachelX + 1 57181 KachelY 17780 -0.40051280 1.36880601 -22.947693 78.426807
    Unten links KachelX 57180 KachelY + 1 17781 -0.40056073 1.36879639 -22.950439 78.426256
    Unten rechts KachelX + 1 57181 KachelY + 1 17781 -0.40051280 1.36879639 -22.947693 78.426256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36880601-1.36879639) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dl = 61.2890199995697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36880601-1.36879639) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dr = 61.2890199995697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(1.36880601) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200619578976855 × 6371000     		do = 61.2616018940843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(1.36879639) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.200629003385487 × 6371000     		du = 61.2644797506358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36880601)-sin(1.36879639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200619578976855-0.200629003385487)×R²
    abs(-0.40051280--0.40056073)×9.42440863230254e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.42440863230254e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.42440863230254e-06×40589641000000     		ar = 3754.75173421898m²