Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57179 / 45362
↖ ↑ ↗
← N 48.367198°
W 22.953186°		 ← 202.91 m → N 48.367198°
W 22.950439°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 48.365373°
W 22.953186°		 ← 202.92 m →
41 175 m²		 N 48.365373°
W 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436244964599609 y=0.346088409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436244964599609 × 217)
    floor (0.436244964599609 × 131072)
    floor (57179.5)     		tx = 57179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346088409423828 × 217)
    floor (0.346088409423828 × 131072)
    floor (45362.5)     		ty = 45362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57179 / 45362 ti = "17/57179/45362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57179/45362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57179 ÷ 217
    57179 ÷ 131072     		x = 0.436241149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45362 ÷ 217
    45362 ÷ 131072     		y = 0.346084594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436241149902344 × 2 - 1) × π
    -0.127517700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40060867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346084594726562 × 2 - 1) × π
    0.307830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967079012935013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40060867} λ = -0.40060867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967079012935013))-π/2
    2×atan(2.63025030045019)-π/2
    2×1.20748159464166-π/2
    2.41496318928332-1.57079632675     		φ = 0.84416686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40060867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.953186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84416686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.367198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57179 KachelY 45362 -0.40060867 0.84416686 -22.953186 48.367198
    Oben rechts KachelX + 1 57180 KachelY 45362 -0.40056073 0.84416686 -22.950439 48.367198
    Unten links KachelX 57179 KachelY + 1 45363 -0.40060867 0.84413501 -22.953186 48.365373
    Unten rechts KachelX + 1 57180 KachelY + 1 45363 -0.40056073 0.84413501 -22.950439 48.365373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84416686-0.84413501) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dl = 202.916349999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84416686-0.84413501) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dr = 202.916349999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40060867--0.40056073) × cos(0.84416686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		do = 202.910878261449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40060867--0.40056073) × cos(0.84413501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664378021634119 × 6371000     		du = 202.918148897439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84416686)-sin(0.84413501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664354216711882-0.664378021634119)×R²
    abs(-0.40056073--0.40060867)×2.38049222374137e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38049222374137e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38049222374137e-05×40589641000000     		ar = 41174.6724608794m²