Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57178 / 45366
↖ ↑ ↗
← N 48.359899°
W 22.955933°		 ← 202.94 m → N 48.359899°
W 22.953186°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.358074°
W 22.955933°		 ← 202.95 m →
41 194 m²		 N 48.358074°
W 22.953186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436237335205078 y=0.346118927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436237335205078 × 217)
    floor (0.436237335205078 × 131072)
    floor (57178.5)     		tx = 57178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346118927001953 × 217)
    floor (0.346118927001953 × 131072)
    floor (45366.5)     		ty = 45366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57178 / 45366 ti = "17/57178/45366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57178/45366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57178 ÷ 217
    57178 ÷ 131072     		x = 0.436233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45366 ÷ 217
    45366 ÷ 131072     		y = 0.346115112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436233520507812 × 2 - 1) × π
    -0.127532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40065661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346115112304688 × 2 - 1) × π
    0.307769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966887265336533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40065661} λ = -0.40065661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966887265336533))-π/2
    2×atan(2.62974600462198)-π/2
    2×1.20741789591481-π/2
    2.41483579182963-1.57079632675     		φ = 0.84403947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40065661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.955933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84403947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.359899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57178 KachelY 45366 -0.40065661 0.84403947 -22.955933 48.359899
    Oben rechts KachelX + 1 57179 KachelY 45366 -0.40060867 0.84403947 -22.953186 48.359899
    Unten links KachelX 57178 KachelY + 1 45367 -0.40065661 0.84400761 -22.955933 48.358074
    Unten rechts KachelX + 1 57179 KachelY + 1 45367 -0.40060867 0.84400761 -22.953186 48.358074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84403947-0.84400761) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84403947-0.84400761) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40065661--0.40060867) × cos(0.84403947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664449424883642 × 6371000     		do = 202.939957287763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40065661--0.40060867) × cos(0.84400761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664473234583227 × 6371000     		du = 202.947229382878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84403947)-sin(0.84400761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664449424883642-0.664473234583227)×R²
    abs(-0.40060867--0.40065661)×2.38096995847092e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38096995847092e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38096995847092e-05×40589641000000     		ar = 41193.5027552371m²