Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57177 / 9053
↖ ↑ ↗
← N 78.245793°
E134.082642°		 ← 124.43 m → N 78.245793°
E134.088135°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
N 78.244674°
E134.082642°		 ← 124.44 m →
15 482 m²		 N 78.244674°
E134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872459411621094 y=0.138145446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872459411621094 × 216)
    floor (0.872459411621094 × 65536)
    floor (57177.5)     		tx = 57177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138145446777344 × 216)
    floor (0.138145446777344 × 65536)
    floor (9053.5)     		ty = 9053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57177 / 9053 ti = "16/57177/9053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57177/9053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57177 ÷ 216
    57177 ÷ 65536     		x = 0.872451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9053 ÷ 216
    9053 ÷ 65536     		y = 0.138137817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872451782226562 × 2 - 1) × π
    0.744903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34018357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138137817382812 × 2 - 1) × π
    0.723724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27364714897926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34018357} λ = 2.34018357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27364714897926))-π/2
    2×atan(9.71476748542839)-π/2
    2×1.46822152586977-π/2
    2.93644305173954-1.57079632675     		φ = 1.36564672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34018357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36564672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.245793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57177 KachelY 9053 2.34018357 1.36564672 134.082642 78.245793
    Oben rechts KachelX + 1 57178 KachelY 9053 2.34027944 1.36564672 134.088135 78.245793
    Unten links KachelX 57177 KachelY + 1 9054 2.34018357 1.36562719 134.082642 78.244674
    Unten rechts KachelX + 1 57178 KachelY + 1 9054 2.34027944 1.36562719 134.088135 78.244674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36564672-1.36562719) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36564672-1.36562719) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34018357-2.34027944) × cos(1.36564672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203713631801994 × 6371000     		do = 124.425794886938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34018357-2.34027944) × cos(1.36562719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203732752229169 × 6371000     		du = 124.437473410014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36564672)-sin(1.36562719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203713631801994-0.203732752229169)×R²
    abs(2.34027944-2.34018357)×1.91204271753065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91204271753065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91204271753065e-05×40589641000000     		ar = 15482.4844709509m²