Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57177 / 45310
↖ ↑ ↗
← N 48.461995°
W 22.958679°		 ← 202.49 m → N 48.461995°
W 22.955933°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
N 48.460173°
W 22.958679°		 ← 202.50 m →
41 012 m²		 N 48.460173°
W 22.955933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436229705810547 y=0.345691680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436229705810547 × 217)
    floor (0.436229705810547 × 131072)
    floor (57177.5)     		tx = 57177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345691680908203 × 217)
    floor (0.345691680908203 × 131072)
    floor (45310.5)     		ty = 45310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57177 / 45310 ti = "17/57177/45310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57177/45310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57177 ÷ 217
    57177 ÷ 131072     		x = 0.436225891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45310 ÷ 217
    45310 ÷ 131072     		y = 0.345687866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436225891113281 × 2 - 1) × π
    -0.127548217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40070454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345687866210938 × 2 - 1) × π
    0.308624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.969571731715256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40070454} λ = -0.40070454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969571731715256))-π/2
    2×atan(2.63681495328837)-π/2
    2×1.20830884751-π/2
    2.41661769501999-1.57079632675     		φ = 0.84582137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40070454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.958679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84582137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.461995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57177 KachelY 45310 -0.40070454 0.84582137 -22.958679 48.461995
    Oben rechts KachelX + 1 57178 KachelY 45310 -0.40065661 0.84582137 -22.955933 48.461995
    Unten links KachelX 57177 KachelY + 1 45311 -0.40070454 0.84578958 -22.958679 48.460173
    Unten rechts KachelX + 1 57178 KachelY + 1 45311 -0.40065661 0.84578958 -22.955933 48.460173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84582137-0.84578958) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84582137-0.84578958) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40070454--0.40065661) × cos(0.84582137) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663116697630861 × 6371000     		do = 202.490660915345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40070454--0.40065661) × cos(0.84578958) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663140492620337 × 6371000     		du = 202.497927001636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84582137)-sin(0.84578958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663116697630861-0.663140492620337)×R²
    abs(-0.40065661--0.40070454)×2.37949894763556e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37949894763556e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37949894763556e-05×40589641000000     		ar = 41011.9975606247m²